מהמוחשי-הממשי למופשט ובחזרה (ממתמטיקה לתודעה)

ניסיון להסביר כיצד נוצרת התודעה המופשטת מהחוויה הממשית הישירה.

חשיבה מופשטת נחשבת כמפותחת יותר מאשר חשיבה קונקרטית שצמודה לנוכח. ואכן, הדמיון והיכולת לחבר בין עולמות תוכן, כתוצאה של הפשטה, יוצרים את המגוון של התרבות האנושית. אך האם עולם המשמעויות שנוצר מייתר את הצמידות למוחשי? בדברים הבאים אנסה לבחון את היחסים בין המופשט למוחשי-הממשי.

  1. מהמוחשי למופשט

דונלד מרלין, בספרו החשוב "מקורות המחשבה האנושית"[1] מתאר את שלבי ההתפתחות הקוגניטיבית מקופי האדם ועד לאדם המודרני. הוא מתחיל מהתפיסה האפיזודית הצמודה למקרים קונקרטיים, תפיסת ההווה המוחשי המיידי של 'כאן ועכשיו', שאיננה יוצרת הכללות. ומגיע עד לחשיבה התיאורטית המופשטת היכולה למיין, לעשות אנליזה, לזהות אנלוגיות, לזהות תבניות וחוקי פעולה, להשוות, ליצור סינתזות, לבדוק תקפות וכו'. חשיבה כזו מחייבת שפה פורמלית (שפה פורמלית מופשטת) שיש בה דקדוק לוגי. המחשבה התאורטית איננה רק אנליטית, היא חייבת להיות גם רפלקטיבית, מודעת לעצמה ונתונה לביקורת.[2]

האם נוכל לזהות מהלך דומה, מהקונקרטי למופשט גם בהתפתחות המתמטיקה, וליתר דיוק, בהתפתחות תורת המספרים? מהם שלבי המהלך מהמוחשי למופשט בהקשר זה? ויותר מזה, נבדוק בהמשך ברמה מושגית שונה, את המעבר הדומה והמקביל ממציאות מוחשית לעולם של משמעויות.

הבסיס לתורת המספרים היא מנייה של עצמים ממשיים. מנייה כזו נראית במחקר ככושר גנטי שיש גם לבעלי חיים מפותחים. המנייה, הספירה הפשוטה ביותר נעשית בעזרת המספרים הטבעיים 1, 2, 3, 4, 5, 6, ….. . כך אנו סופרים עצמים קונקרטיים מוחשיים.

המדרגה הבאה בתורת המספרים, המתארת את ההתפתחות מהמוחשי למופשט, היא המספרים השלמים. שלמים חיוביים ושליליים 4, 3, 2, 1, 0, 1-, 2-, 3-, 4- …. וגם אפס, שהוא עניין בפני עצמו. לגבי המספר אפס עולה הקושיה, ברמה המוחשית, איך משהו יכול להיות ולא להיות באותו הזמן? איך אפס הוא משהו ולא משהו? התשובה לכך היא שהאפס כבר מתחיל להעביר אותנו למישור המופשט. אפס איננו עצם, אלא תיפקוד. האפס חשוב במה שהוא עושה ולא במה שהוא מבטא. ומה שהוא עושה זה שני דברים: הוא תופס מקום. 106 זה מאה ושש ולא 16, וגם תפקידו במשוואות כמו  a+0=a ששם הוא מבטא חוסר בשינוי הערך.[3]

כבר כאן, ברשימת המספרים השלמים, אנו מגיעים לעוד שאלה חשובה: האם המספרים השליליים הם באמת קיימים? האם הם מבטאים משהו מוחשי וממשי?

כדי להעצים את השאלה נראה את התרגיל הבא: x2+2x=120

לתרגיל זה  שני פתרונות: x=10, x=-12 (עשר, ומינוס שתים עשרה). שני הפתרונות הללו נראים כסותרים. איך זה הגיוני כי לשאלה אחת יש שתי תשובות נכונות השונות כל כך זו מזו? התשובה הראשונה 10, נראית הגיונית ומתאימה לחשיבה המוחשית, והשניה נראית כהמצאה של תהליך מופשט ולא טבעי שאומר כי מינוס כפול מינוס זה פלוס.

אבל במחשבה נוספת יש הצדקה ראלית ממשית גם למספרים שליליים. המספר השלילי הוא סימון של חוב – אני חייב לחבר 200 שקל, ולכן חשבוני שלי נמצא כלפיו, וביחס אליו, במינוס 200. המינוס מבטא סוג של יחס. או יש לי בקערה 4 תפוחים ואני צריך 5. חסר לי תפוח. חסר לי, זה המינוס. והיחס הזה הוא משהו קיים, אמנם לא במציאות הקונקרטית, אבל בסוג של מחשבה המשווה בין מצבים, היוצרת ביניהם יחס. היחס הוא אמנם השלכה מחשבתית אנושית, אבל כזו המשקפת מציאות.

הצדקה נוספת לראליות של מספרים שליליים היא באבחון של מקום על ציר עם נקודת התחלה. אנו רוצים לספור ימים או תאריכים. אנו מחליטים כי אנו מתחילים את הספירה מרגע לידתו של מישהו (למשל, לידת ישו). אבל היה משהו גם לפני שהוא נולד, היו לו הורים, היה עולם וחיים. את כל אלה נסמן במינוס. כלומר, ציון של נקודת ההתחלה, שהיא אמנם, שוב, תלויית החלטה ואבחנה במציאות, נותנת תוקף למינוס. אין להכחיש כי יש כאן כבר התחלה של קביעה מופשטת של משמעות המציאות, אנו נותנים ערך לזמן, וגם יחס, ערך שאיננו קיים בו כשלעצמו.

למספרים השליליים יש גם יתרון טכני. במקום שתי פעולות על המספרים הטבעיים, חיבור וחיסור, מספיקה רק פעולה אחת – חיבור. 3+(-2)=1. נותר רק להסביר מדוע מינוס כפול מינוס זה פלוס. והתשובה היא כי זו הקטנה של השלילה, שלילה של השלילה. כפל היא פעולת קיצור לחיבור, ולכן זו  הקטנה הדרגתית של השלילה. ובמילים אחרות: האויב של האויב שלי הוא ידיד שלי.

יוצא מכאן כי המספרים השליליים הם עדיין מבטאים יחס ראלי וממשי, אבל כבר רומזים על ניצנים של הפשטה.

המדרגה השלישית מהמוחשי למופשט היא המספרים הרציונליים, הנקראים גם שברים. מספר רציונלי הוא מספר, אשר ניתן להצגה כמנה של מספרים שלמים, הנקראים מונה ומכנה. 4/9. ארבע תשיעיות הם 4 חלקים מתוך שלם שיכול להתפרק ל9 חלקים. ויותר מזה 11/17 היא חלוקה מורכבת הרבה יותר הפורסת את השלם-17, למאות ואלפי פרוסות קטנות. (התשובה היא ……0.64705882). השלם איננו נתפס כבר כיחידה אורגנית אחת שאיננה ניתנת לחלוקה, אלא הוא ייצור מורכב, יש לו חלקים (לפעמים חלקים שווים זה לזה ולפעמים שאינם שווים). ההחלטה או הקביעה על מורכבות ועל אופן החלוקה של הייצור הזה, היא כבר יציאה נוספת מהמוחשי למופשט. החלוקה, למרות שלעיתים נראית טבעית, היא כנראה שרירותית תמיד. היא מונחית על ידי קריטריון חיצוני הקובע את החלוקה. ההחלטה, הלכאורה טבעית, שאדם מורכב מראש, גוף, שתי ידיים ושתי רגליים, היא החלטה סכמתית למען הנוחות. (ראו רק את חלוקת המחלקות השונות בבית החולים, ואת תת המחלקות, ותווכחו איך האדם מנותח לנתחים שונים ומשונים.)

המדרגה הרביעית היא המספרים הממשיים, שמצד אחד נקראים ממשיים ומן הצד השני נקראים 'לא רציונליים'. אלו הם מספרים שיש להם ממשות במציאות, אך לא ניתן להציגם כמנה של מספרים שלמים, כחלק מובחן וסופי של שלם כלשהו. היחס המפורסם בין הקף המעגל לקוטרו (המסומן באות היוונית π -פאי) הוא מספר שהשבר שלו גדול ללא שיעור (……3.1415926) ובכל זאת מבטא גודל הקיים במציאות. כך גם המספר שורש של 2 שהוא האלכסון של ריבוע שצלעו 1יחידה. גם זה הוא מספר ללא סוף (פחות מ1.5 ויותר מ1.4). המושג המתמטי המרכזי כאן הוא 'גבול'. המציאות מתקרבת יותר ויותר (במהלך של מיזעור) אל הממשות, אך לא ממש מגיעה אליה.

וכאן אנו מגיעים למושג המופשט 'אינסוף'. הגענו אליו כתוצאה מחוסר היכולת למצות את המספר הממשי, הוא איננו נגמר לעולם. מצד אחד האינסוף הוא מושג מוחשי, או יותר נכון כזה הנתפס באינטואיציה (יש אינסוף מספרים טבעיים), ומן הצד השני אינסופיותו הבלתי נגמרת לעולם מעבירה אותנו לעולמות אחרים, עולמות ללא גבול. למעשה, השימוש המתמטי של המושג אינסוף הוא הצורך לקבוע את רמת הדיוק הנדרש, המחזיר אותנו למושג 'גבול' כביטוי הולך וגובר ללא סוף של עולם שאיננו מגיע למיצוי ולסיכום.

כדי להגדיל עוד יותר את המופשטות של המושג אינסוף הסתבר כי המתמטיקאים דנו בכמה אינסופים. למשל, אינסוף אחד הגדול מאינסוף שני. כיצד זה יתכן? פשוט: למשל, נחלק את אינסוף המספרים הטבעיים לקבוצות של 3 ספרות, …. (7,8,9) (4,5,6) (1,2,3). כמה קבוצות יש כאן? זה ברור, אינסוף קבוצות. ועכשיו נחלק את אינסוף המספרים הטבעיים לקבוצות שונות של 2 ספרות, ….(7,8) (5,6) (3,4) (1,2). כמה קבוצות יש כאן? יותר קבוצות מאשר בחלוקה ל3 ספרות. כלומר, גודל או עוצמת הקבוצות של 2 הספרות גדולה מזו של ה3 ספרות, אבל כולן אינסופיות. היתכן? האם יש אינסופים שונים? זו ממש שאלה מתמטית מופשטת שבעולם הממשי אין עליה תשובה, אבל לדיון בה יש משקל מרכזי ומהותי בהבנת המתמטיקה שמתאמצת לשקף את הממשי.

אחריהם, בתורת המספרים, באים המספרים המורכבים (הנקראים גם דמיוניים), למשל, שורש של מינוס 1 (), ושאני לא מבין מהם. כשאני אומר שאינני מבין, אני יוצא מתוך המושג ההבנה שלי, כלומר, היכן הייצורים הללו דומים ומתחברים לעולם (המוחשי) שאני מכיר. ולכן, "מנקודת המבט הקונקרטית אפשר בנקל לשלול את הרעיון של שורש ריבועי של מינוס 1; הרי ריבוע של כל מספר הינו מספר חיובי, אי לכך למינוס 1 לא יכול להיות שורש ריבועי, נקודה. אך אין להתנגדות זו שום משקל אם נוקטים בגישה המופשטת."[4] (מטרתו של הספר של גוורס, שממנו לקוח ציטוט זה, הוא להראות את כוחה ויתרונותיה של החשיבה המופשטת.)

לסיכום: מתמטיקה היא מודל מופשט (ואולי, המודל המופשט) של העולם האפשרי ולא רק של העולם הממשי הקיים. "אחד היתרונות הבולטים של השיטה המופשטת הוא שהיא מאפשרת לנו להעניק משמעות למושגים מוכרים במצבים בלתי-מוכרים. הביטוי 'להעניק משמעות' הולם כאן משום שזהו בדיוק מה שאנו עושים בניגוד לגלוי משמעות הקיימת מלכתחילה." (גוורס שם עמ' 48) והוא מדגים בהמשך: "גיאומטריה רב-מימדית היא דוגמה נוספת ליתרונותיה של ההשקפה המופשטת. במקום לעסוק בקיומו (או באי-קיומו) של מרחב עשרים ושישה מימדי, נחשוב על תכונותיו. אולי תמוה בעיניכם כיצד אפשר לחשוב על תכונותיו של משהו מבלי לוודא תחילה שהוא קיים. אפשר להסיר הסתייגות זו בקלות. אם נשכח מהמילה 'משהו' השאלה תהפוך ל: כיצד אפשר לעסוק באוסף של תכונות בלי להוכיח קודם שקיים דבר מה המקיים אותן? אבל אין בכך שום קושי, הלא אנחנו יכולים לתהות מה תהיינה תכונות האופי של אישה נשיאת ארצות הברית, על אף שאין כל ודאות שתהיה אי-פעם אחת כזו" (שם עמ' 87)[5]

 

  1. מהמופשט למוחשי

אל מול המהלך מהמוחשי למופשט, קיים גם מהלך הפוך היוצא מנקודת המוצא של התבנית. התבנית היא האופן שבו המחשבה שלנו מסדרת את המציאות סביבנו. כשאנו רואים דירת מגורים, אנו בוחרים לראות קירות, חדרים, רהיטים, אביזרים ומתעלמים מצינורות המים ומחוטי החשמל שבקירות. חוטי החשמל נכנסים לתבנית כאשר יש תקלה המחייבת התייחסות אליהם. נראה כי בתפיסה האנושית התבנית והמכלול קודמת לתפיסת הפרטים. המחשבה קולטת, תופסת ומעבדת את המציאות בתבניות משמעות מכלילות. התבנית היא יצירת סדר המחייבת אבחון בין דמות (או דמויות) רלוונטיות לרקע שאיננו רלוונטי. היא מחייבת גם הגדרה של היחסים בין הדמויות ויצירת הכללה ומשמעות לסדר שנקבע. תבניות אלו הם אינם אוסף של פרטים הנבנים בצורה אינדוקטיבית והדרגתית אחד אחרי השני לכלל דבר מה משמעותי, אלא היא תבנית שלימה של משמעות מופשטת. האדם מארגן את שטף  המידע הנכנס אליו בעזרת תבניות או דפוסים (PATTERNS)[6]. דפוסים אלה הם תבניות הכוללות פריטים רבים המקובצים לקבוצות, כמו למשל כל הפרטים המתחברים לכלל דמותו של חבר ותיק, האירועים הקשורים למתרחש בעבודה, או במשפחה, או דפוס השייך למפגשים חברתיים עם חברים, דפוס השייך לאוכל ועוד. בכל אחד מדפוסים אלו ישנם אלפי פריטים שמתחברים לקבוצת תוכן אחת (ואלפי אחרים הנשמטים כלא-רלוונטיים) היוצרת סיפור עקבי ומשמעותי שהוא יותר מסך כל הפרטים המרכיבים אותו בפועל, ולכן הוא מופשט. המוח יוצר מעצמו, מקבץ בדרך אסוציאטיבית, את הקישורים בין הפרטים ובונה את הדפוס של המשמעות שהוא יישות המכילה נתונים רבים שמעבר לנוכח.

כנראה שכך גם עצם הגדרתו של המספר הטבעי נובעת מתפיסה של תבנית. המספר הטבעי 2, למשל, מוגדר כקבוצה של כל הקבוצות שיש בהן שני אברים. אנו מזהים במציאות שתי עיניים, 2 רגליים, זוג של גבר ואישה, 2 צדדים – אחורי וקדמי, למעלה ולמטה, 2 לוחות הברית ועוד ועוד. כך אנו מבינים מהו 2 – מתוך כל הקבוצות של 2 אברים. 2 הוא תבנית של כל הזוגות בעולם המושלכת על 2 הדמויות הקונקרטיות שלפנינו. לפיכך, התבנית המפשטת את המושג 2 קודמת לספירת האברים המוחשיים. "כבר ממספרים קטנים יחסית אנו מפסיקים לחשוב במונחים של עצמים בעלי מהות ייחודית, ואנו מתחילים לחשוב במונחים של תכונותיהם ביחס למספרים אחרים. אנו חושבים על תפקידם …" (גוורס שם עמ' 36) אם כך במספרים קטנים, על אחת כמה וכמה במספרים גדולים. מיליון הוא תפיסת תבנית ולא מנייה של אברים.[7] לסיכום, התבנית היא תפקוד, היא איננה משהו סטטי, אלא היא פעילות שאנו עושים על המציאות. זו פעילות המאפשרת ניבוי, וניבוי הוא צורך והכרח.

"תהליכי ההפשטה האלה מהווים מרכיב מהותי בחשיבה האנושית ובתמונת העולם שלנו. בתהליכים האלה נוצרים מושגים וישויות חדשים לצורך זיהוי המשותף לקבוצת ישויות, הדומות זו לזו מבחינה כלשהי."  "והמספרים הטבעיים, שבהם אנו משתמשים כדי לאפיין אותו כמותית, הינם תולדה של תהליך הפשטה."[8]

הבסיס של קיבוץ האברים המוחשיים הוא דומות תבניתית דדוקטיבית, וזאת בשונה מתהליך אינדוקטיבי של מנייה חד חד ערכית של איבר מול איבר אחר המקביל לו.

אבל האם אנחנו יכולים להישאר ולהתקיים רק בעולם של משמעויות מופשטות? נראה כי התשובה היא שלילית. אנחנו בנויים מגוף מוחשי וממשי, לועסים ובולעים עגבנייה ממשית, נוגעים באצבעות מוחשיות בחפצים ממשיים, מתכרבלים בשמיכה הלוחצת בעדינות ומחזיקה את הגוף ועוד ועוד.

מיצ'יו קאקו טבע בספרו "הפיזיקה של העתיד" את הביטוי "עקרון איש המערות".[9] עקרון זה אומר כי אנו בסופו של דבר נשארנו אנשי מערות שרוצים לראות ולגעת ממש. "אנחנו מעוניינים בעותק פיזי בכל פעם שאנו מטפלים בקבצים. מתוך אינסטינקט, אנחנו לא בוטחים באלקטרונים השועטים על מסך המחשב, ולכן מדפיסים הודעות דוא"ל ודוחות, גם כשאין בכך צורך. זאת הסיבה שחזון המשרד נטול הנייר לא התגשם. … זאת הסיבה שהתיירות הווירטואלית לא הצליחה להמריא. דבר אחד הוא לראות תמונה של הטאג' מהאל, ודבר אחר לגמרי הוא לראות אותו במו-עיניכם…" (קאקו עמ' 28-9). כך גם אנו זקוקים למפגש פנים אל פנים ולא מסתפקים בשיחות וידאו. אנו רוצים לחוות את האחר על כל ממדיו בצורה מודעת ולא מודעת, ולא רק לקלוט מסר חלקי.

ואפילו במישור המילולי והאמנותי, המופשט לכאורה, אנו חוזרים אל המוחשי והקונקרטי. המטפורה 'חיי כלב' או 'התנהגות חזירית' או 'ים השיבולים' או 'פרי האהבה' ורבות רבות אחרות מסבירות את המופשט באמצעות המוחש. כך גם בדימויים חזותיים ואמנותיים. גם סמל הוא רמיזה למשמעויות מופשטות באמצעות המוחש. סמל, בשונה ממטפורה, איננו מפרש את כוונתו המופשטת, הוא לא אומר שההתנהגות היא חזירית, הוא רק אומר 'אתה חזיר' ותחשוב בעצמך במה אתה דומה לחזיר (במראה, בריח, בצורת האכילה וכו'). הנוכחות של החזיר, על כל תכונותיו, היא הדומיננטית. סוזן דרי הפליאה להגדיר את הסמל כ"הנוכחות של הנעדר"[10]. כלומר, המשמעות נסמכת על הנוכח.[11]

 

  1. ממציאות (מוחשית) למשמעות (תבנית של דמות מתוך רקע, עד להפשטה)

לפני שנמשיך, נעשה סדר במושגים שדנו בהם עד עתה.

תבנית היא הכללה של פרטים ממשיים נבחרים, הכללה שיוצרת תוכן שמעבר לפרטים בכך שהיא יוצרת קשר ויחסים בין הפרטים הנוכחים לאחרים שאינם נוכחים. הקישור והיחסים הללו הם נושאי משמעות, כלומר, התבנית היא פעילות של יצירת משמעות שמעבר לנוכח.

משמעות היא ייחוס של המחשבה האנושית לתפקיד של התבנית הזו בעולם שלנו. בן משפחה הוא משמעותי לנו גם מעבר לנוכחות ולהתנהגות הרגעית שלו, והמשמעות הזו קובעת את היחס שלי כלפיו כל אימת שאני מעלה אותו על דעתי, הוא משמעותי עבורי. וכך נוצרת התודעה שלי. התודעה היא הבנה והתנהגות הנובעת ממכלול המשמעות (והמשמעויות השונות), היא ייצוג פנימי של המשמעות.

גם כאן עברנו מהמוחשי למופשט: מהפרטים לתבנית, מהתבנית למשמעות, ומהמשמעות לתודעה. (אותו מהלך כמו קודם, רק ברמה מושגית אחרת.)

רות לורנד בספרה החשוב "סדר ואי-סדר כמושגים של הכרה"[12] מסבירה כי בהכרתנו (או בתודעתנו) כל הדברים בחלל מקיימים ביניהם יחסים של מקום, זמן או יחסים לוגיים, ולכן אנו יוצרים בהם סדר ומשמעות. לפיכך אין אי-סדר מהותי אלא רק רצף בין סדר לאי-סדר, דרגה של סדר.[13] (והמתמטיקה היא ביטוי מפואר של עשיית סדר.)

ועתה אנו מגיעים לשאלה הקשה, שאלת הגוף – נפש: כיצד המוחשי "מצמיח" את המופשט? איך נוירונים יוצרים תודעה? היכן בדיוק המעבר וכיצד נעשה המעבר? נראה כי נקודת המעבר הקריטית היא המעבר מפרטים ממשיים לתבנית בעלת משמעות. מעבר זה נעשה על ידי קיבוץ של פרטים, קיבוץ החוזר שוב ושוב ויש לו תיפקוד החוזר שוב ושוב במציאות. המשמעות נוצרת ברגע שהתקבצות הנוכחים יוצרת משהו שמעבר לנוכחים ועושה משהו. שהיא אוספת אליה גם מרכיבים שאינם נוכחים, מרכיבים המופעלים על יד הנוכחים, אך הם אינם נוכחים.

האם המשמעות נוצרת מעצמה? כן, אבל תוך "משחק הדדי" בין הווה לעבר, בין פרטים מוחשיים לזיכרון שכבר היקנה להם תפקיד.

התודעה נוצרת מהשילוב בין המוחשי-ממשי, החוויה הישירה, למשמעות (המופשטת) שמתפתחת סביבה מכוחם של המפגשים הממשיים בעבר.

[1] Donald Merlin. 1991. Origins of the Modern Mind: three stages in the evolution of culture and cognition. Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press.

[2] בין השלב האפיזודי לשלב הסדר התיאורטי, נמצאים השלב המימטי והשלב המיתי (כפי שהם נקראים אצל דונלד מרלין).

ראה בהרחבה: שמחון ד. מקורות המחשבה האנושית. https://dovsimchon.wordpress.com/2014/07/11/%D7%9E%D7%A7%D7%95%D7%A8%D7%95%D7%AA-%D7%94%D7%9E%D7%97%D7%A9%D7%91%D7%94-%D7%94%D7%90%D7%A0%D7%95%D7%A9%D7%99%D7%AA/

[3] וראה גם תפקידיו בכפל ובחילוק.

ובהרחבה ראה:
Seife, CH. 2000. Zero: The Biography of a Dangerous Idea. New York: Viking Press.

ובעברית: זייף, צ. 2003. אפס : ביוגרפיה של רעיון מסוכן. רעננה : מי-אן.

[4] Gowers Timothy. 2002. Mathematics – A Very Short Introduction. Oxford:  Oxford University Press.

ובעברית: גוורס טימוטי. 2007. מתמטיקה. תל אביב: ידיעות ספרים. (עמ' 45)

[5] למי שרוצה לחוות את החוויה המופשטת מומלץ מאוד לקרוא את ספר המופת "שטוחלנדיה" שפורסם במקור בשנת 1884. בעברית הוא קיים כך: אבוט אדווין. 1984. שטוחלנדיה. ירושלים: כתר.  ובעקבותיו לקרוא את הספר: רקר רודי. תש"ס (2000). הממד הרביעי – סיור מודרך ביקומים הגבוהים. ירושלים" מאגנס.

[6] יש הקוראים להם מודלים מנטליים mental models .

[7] גם תפיסת התבנית, כמו כושר המנייה, נראית כיכולת גנטית. ראה: ארטשטיין צבי. 2014. הקשר המתמטי – המתמטיקה של הטבע, הטבע של המתמטיקה, והזיקה לאבולוציה. תל אביב: ידיעות ספרים. "יכולת בסיסית נוספת במתמטיקה, יכולת שקרוב לוודאי שיחקה תפקיד במאבק האבולוציוני, היא היכולת לזהות חוקיות, דפוסי פעולה, תבניות (patterns)" שם עמ' 36.

[8] אברון ארנון. 1998. משפטי גדל ובעיית היסודות של המתמטיקה. משרד הביטחון – האוניברסיטה המשודרת. עמ' 59.

[9] Kaku Michio. 2011. Physics of the Future. New York: Stuart Krichevsky

ובעברית: קאקו מיצ'יו. 2012. הפיזיקה של העתיד. רמות השבים: אריה ניר.

[10] Deri, S. 1984. Symbolization and Creativity. New York: International Universities Press.

[11] ראה: שמחון דב. סמלים פתוחים – תבנית והבנה. https://dovsimchon.wordpress.com/2007/10/08/%D7%A1%D7%9E%D7%9C%D7%99%D7%9D-%D7%A4%D7%AA%D7%95%D7%97%D7%99%D7%9D-%D7%AA%D7%91%D7%A0%D7%99%D7%AA-%D7%95%D7%94%D7%91%D7%A0%D7%94/

[12] לורנד רות. תשע"ו 2016. סדר ואי-סדר כמושגים של הכרה. ירושלים:כרמל.

[13] ראה https://dovsimchon.wordpress.com/2017/03/03/%D7%A1%D7%93%D7%A8-%D7%95%D7%90%D7%99-%D7%A1%D7%93%D7%A8-%D7%9B%D7%9E%D7%95%D7%A9%D7%92%D7%99%D7%9D-%D7%A9%D7%9C-%D7%94%D7%9B%D7%A8%D7%94/

מודעות פרסומת
Post a comment or leave a trackback: Trackback URL.

להשאיר תגובה

הזינו את פרטיכם בטופס, או לחצו על אחד מהאייקונים כדי להשתמש בחשבון קיים:

הלוגו של WordPress.com

אתה מגיב באמצעות חשבון WordPress.com שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

תמונת Twitter

אתה מגיב באמצעות חשבון Twitter שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

תמונת Facebook

אתה מגיב באמצעות חשבון Facebook שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

תמונת גוגל פלוס

אתה מגיב באמצעות חשבון Google+ שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

מתחבר ל-%s

%d בלוגרים אהבו את זה: